Le président Emmanuel Macron a chargé Mme Borne de sonder pour voir si un "accord de gouvernement" est possible et de composer une nouvelle équipe gouvernementale d'ici à début juillet.
Après un premier tour de table lundi, la Première ministre rencontrait à tour de rôle mardi les chefs des groupes parlementaires de la droite, socialiste, communiste et écologiste de l'Assemblée.
Dans une lettre qu'elle leur a adressée lundi, la Première ministre prend acte de leur refus "d'entrer dans une dynamique de construction de coalition ou d'accord global avec le groupe majoritaire" mais ajoute qu'elle souhaiterait cependant "approfondir (la) discussion pour mieux identifier les points essentiels de convergences et de désaccords".
Emmanuel Macron a précisé que ces discussions se feraient dans le "cadre du projet présidentiel et de celui de la majorité présidentielle qui pourra être amendé ou enrichi".
Avec pour ligne rouge de n'augmenter "ni les impôts, ni la dette".
Il a dit attendre, à son retour jeudi soir du sommet de l'Otan à Madrid, des propositions "pour une feuille de route" et la composition d'un nouveau gouvernement prévu pour début juillet.
La question du maintien au gouvernement du ministre des Solidarités Damien Abad se pose, alors qu'une plainte pour tentative de viol a été déposée contre le ministre, déjà visé par d'autres accusations d'agressions sexuelles. Il a annoncé en retour une plainte pour dénonciation calomnieuse.
Confortablement réélu en avril, le président français a subi un revers au second tour des législatives le 19 juin en perdant sa majorité absolue à l'Assemblée nationale.
Il ne dispose plus que d'une majorité relative, ce qui le contraint à trouver des alliances pour mettre en œuvre son programme de réformes, notamment sur les retraites.
"D'accord sur l'essentiel"
Depuis, la France est plongée dans l'incertitude, elle qui est peu habituée à des coalitions de gouvernement, contrairement à de nombreux autres pays européens.
D'autant que le président français a écarté la possibilité d'un accord avec le Rassemblement national (RN, extrême droite) et La France insoumise (LFI, gauche radicale), deux formations qui, selon lui, "ne s'inscrivent pas comme des partis de gouvernement" mais ont toutes deux fait une entrée massive à l'Assemblée.
Les alliés possibles, "ce sera des communistes aux LR" (Les Républicains, parti de droite), a-t-il indiqué.
L'opposition a cependant refusé tout accord général.
"On lui a redit qu'il n'était pas question de quelque coalition que ce soit, mais qu'on était là pour essayer de trouver des solutions", a déclaré le patron des Républicains à la chambre basse, Olivier Marleix, premier à être reçu mardi par Mme Borne.
La formation de la droite est particulièrement courtisée, le ministre de l'Intérieur, Gérald Darmanin, lui-même transfuge de LR, ayant estimé que la majorité était "d'accord sur l'essentiel avec les députés LR".
Parmi les priorités de la nouvelle législature figurent des mesures urgentes de sauvegarde du pouvoir d'achat des Français, malmené par l'inflation, comme ailleurs en Europe.
Le texte gouvernemental en préparation propose la hausse de 4% d'une série de prestations sociales.
La gauche radicale de Jean-Luc Mélenchon s'apprête également à déposer "une grande loi d'urgence sociale".
Dans un symbole fort, c'est le doyen d'âge et député d'extrême droite, José Gonzalez, 79 ans, qui a ouvert mardi après-midi les travaux de la nouvelle Assemblée nationale.
Dans la foulée, la nouvelle Assemblée a entamé le vote à bulletin secret pour l'élection de son président, ce qui sera un premier test pour la majorité présidentielle. Au besoin, trois tours sont prévus dont le dernier à la majorité relative.
Yaël Braun-Pivet, 51 ans, qui était jusqu'à samedi ministre des Outre-Mer, part favorite, ce qui serait une première en France, à la différence d'autres pays où cette fonction s'est féminisée plus tôt.
Mme Braun-Pivet est ex-présidente de la commission des Lois de l'Assemblée, et devrait succéder à Richard Ferrand, un proche d'Emmanuel Macron défait aux législatives. Elle deviendrait le 4e personnage de l'État.
